向量和矩阵¶

向量¶

行向量¶

行向量使用 {...} 表示：
比如

\[ \{1,2,3 \} = \left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \]

当矩阵元素都是数字或者变量，不是表达式时，逗号可以省略。

{1 2 3} 等价于 {1,2,3}
{1+2 max(2,3) 100} 报错，需要写成 {1+2, max(2,3), 100}

列向量¶

列向量可以使用中括号 [...] 表示,
比如 :

\[ [1,2,3] = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \]

同行向量一样，元素都是数字时，逗号可以省略。 [1 2 3] 也是可以的。

[...] 就是把里面的元素，从上往下排。所以元素是行向量时, 就是一个矩阵。

\[ a = \{1\;2\;3 \} \]

\[ b = \{4\;5\;6 \} \]

\[ c = \{7\;8\;9 \} \]

\[ [a \; b \; c] = \left(\begin{array}{c} \left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{c} 7 & 8 & 9 \end{array}\right) \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right) \]

[...] 中的元素只支持数字和行向量，不支持列向量和矩阵

矩阵¶

矩阵使用 {...;...;...} 符号。

比如:

\[ \{1,2,3; 4,5,6; 7,8,9\} = \left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right) \]

注意到先前使用符号{1,2,3} 表示行向量，

这个因为符号 {...} 的底层含义是元素拼接。

{1,2,3} 使用逗号, 表示列拼接，也就是将元素横向水平拼接

\[ \{1,2,3\}=\left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \]

{1;2;3} 使用分号 ; 表示行拼接，也就是将元素垂直拼接
( 元素为数字和行向量时等价于 [1,2,3], 可以将向量视为{...;...;...}不支持行向量和矩阵的语法糖 )

\[ \{1;2;3\} = [1,2,3] =\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \]

所以 {1,2,3; 4,5,6; 7,8,9} 表示

\[ \{1,2,3; 4,5,6; 7,8,9\} = \left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right) \]

对于矩阵\(a\):

\[ a = \left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \]

\(\{a, a\}\) 将矩阵水平拼接：

\[ \{a,a\} =\left(\begin{array}{c} \left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \]

\(\{a; a\}\) 将矩阵垂直拼接：

\[ \{a; a\} =\left(\begin{array}{c} \left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \]

使用函数创建矩阵¶

eye(3)                     // 创建3x3单位矩阵
zeros(3,4)                 // 创建3x4全零矩阵
ones(2,3)                  // 创建2x3全一矩阵
diag([1,2,3])              // 创建对角矩阵
range(1,10)                // 创建从1到10的向量
range(1,10,2)              // 创建从1到10步长为2的向量

random(10)                 // 随机数
random(10, 10)

reshape(A, 2, 3)           // 将矩阵A重塑为2x3矩阵
repeat([1,2,3], 2)         // 重复向量[1,2,3]两次

矩阵运算¶

基本运算¶

{1 2; 3 4} + {5 6; 7 8}    // 矩阵加法
{1 2; 3 4} - {5 6; 7 8}    // 矩阵减法
{1 2; 3 4} * {5 6; 7 8}    // 矩阵点乘
{1 2; 3 4} / 2             // 矩阵除以标量

矩阵乘法¶

{1 2; 3 4} * {5 6; 7 8}    // 矩阵点乘，对应位置元素相乘
{1 2; 3 4} @ {5 6; 7 8}    // 矩阵乘法，使用@运算符的矩阵乘法

矩阵方法¶

{1 2; 3 4}.det             // 矩阵行列式
{1 2; 3 4}.inv             // 矩阵求逆
{1 2; 3 4}.transpose       // 矩阵转置
{1 2; 3 4}.T               // 矩阵转置的简写形式
{1 2; 3 4}.abs             // 矩阵元素绝对值

eigenvalues({1 2; 3 4})    // 计算特征值

solve(A, b)   // 解线性方程组 Ax = b
reshape({1,2,3,4,5,6}, 3, 2)   // 将向量[1,2,3,4,5,6]重塑为3x2矩阵

max({1 2 3; 4 5 6})        // 矩阵最大值
min({1 2 3; 4 5 6})        // 矩阵最小值
sum({1 2 3; 4 5 6})        // 矩阵元素求和
mean({1 2 3; 4 5 6})       // 矩阵元素均值
sort({3 1 2; 6 4 5})       // 矩阵排序

矩阵运算示例¶

矩阵乘法¶

A = {1 2; 3 4}
B = {5 6; 7 8}
C = A @ B                  // 使用@运算符进行矩阵乘法

矩阵转置¶

A = {1 2 3; 4 5 6}
B = transpose(A)            // 矩阵转置
C = A.T                    // 矩阵转置的简写形式

矩阵求逆¶

A = {1 2; 3 4}
B = inv(A)
B = A.inv                  // 矩阵求逆

对于非正定的矩阵或者非方阵，返回的是广义逆

矩阵行列式¶

A = {1 2; 3 4}
det = det(A)
det = A.det                // 计算行列式

解线性方程组¶

\[ \begin{align} 1 \times x_{1} + 2 \times x_{2} = 5 \\ 3 \times x_{1} + 4 \times x_{2} = 6 \end{align} \]

使用 solve 可以求解方程，对于上面的方程。

A = {1 2; 3 4}
b = [5, 6]
x = solve(A, b)            // 解方程 Ax = b

计算特征值和特征向量¶

A = {1 2; 3 4}
values = eigenvalues(A)    // 特征值

矩阵函数详细表格¶

以下是矩阵相关函数的详细表格，包括函数名称、语法、描述和示例：

函数名	语法	描述	示例
`eye`	`eye(n)`	创建n×n单位矩阵	`eye(3)` → 创建3×3单位矩阵
`zeros`	`zeros(m, n)`	创建m×n全零矩阵	`zeros(2, 3)` → 创建2×3全零矩阵
`ones`	`ones(m, n)`	创建m×n全一矩阵	`ones(2, 3)` → 创建2×3全一矩阵
`diag`	`diag(v)`	用向量v创建对角矩阵	`diag([1, 2, 3])` → 创建对角元素为1,2,3的矩阵
`range`	`range(start, end, [step])`	创建等差数列向量	`range(1, 10, 2)` → 创建向量[1,3,5,7,9]
`reshape`	`reshape(A, m, n)`	将矩阵A重塑为m×n矩阵	`reshape({1,2,3,4}, 2, 2)` → 创建2×2矩阵
`repeat`	`repeat(v, n)`	重复向量v，n次	`repeat([1,2], 3)` → 创建向量[1,2,1,2,1,2]
`solve`	`solve(A, b)`	解线性方程组Ax=b	`solve({1,2;3,4}, [5,6])` → 求解方程组
`transpose`	`A.transpose` 或 `A.T`	矩阵转置	`{1,2;3,4}.T` → 转置矩阵
`inv`	`A.inv`	矩阵求逆，对于非正定的矩阵或者非方阵，返回的是广义逆	`{1,2;3,4}.inv` → 求逆矩阵
`det`	`A.det`	计算矩阵行列式	`{1,2;3,4}.det` → 计算行列式
`eigenvalues`	`eigenvalues(A)`	计算矩阵特征值	`eigenvalues({1,2;3,4})` → 计算特征值
`max`	`max(A)`	求矩阵最大元素	`max({1,2;3,4})` → 返回4
`min`	`min(A)`	求矩阵最小元素	`min({1,2;3,4})` → 返回1
`sum`	`sum(A)`	求矩阵所有元素之和	`sum({1,2;3,4})` → 返回10
`mean`	`mean(A)`	求矩阵所有元素的平均值	`mean({1,2;3,4})` → 返回2.5
`sort`	`sort(A)`	对矩阵元素排序	`sort({3,1;4,2})` → 排序后的矩阵
`abs`	`A.abs`	矩阵元素取绝对值	`{-1,2;-3,4}.abs` → 所有元素取绝对值
`sin`	`sin(A)`	矩阵元素做sin	`sin([1,2,3])` → `[sin(1), sin(2), sin(3)]`
`ln`	`ln(A)`		`ln([1,2,3])` → `[ln(1), ln(2), ln(3)]`

事实上，几乎所有的函数和运算符都支持矩阵和向量操作

函数： f([a,b,c, ...]) --> [f(a), f(b), f(c), ...])
操作符： 1 / [a,b,c,...] --> [1/a, 1/b, 1/c, ...]